Espérance mathématique

L’espérance d’une variable aléatoire $V$ correspond à la moyenne pondérée de l’ensemble des issues possibles, chaque issue étant multipliée par sa probabilité d’occurrence. Lorsqu’on se trouve dans un contexte d’incertitude, la variable $V$ peut prendre $n$ valeurs différentes selon l’état du monde. En théorie des probabilités, on parle également de moyenne ou d’espérance mathématique.

À chaque valeur possible $v_j$ de la variable est associée une probabilité $p_j$ qui exprime la chance que cette issue se réalise. Lorsque toutes les éventualités sont prises en compte, la somme de leurs probabilités est nécessairement égale à 1 :

$$ \sum_{j=1}^n p_j = 1 $$

La formule générale de l’espérance d’une variable aléatoire discrète est la suivante :

$$ \mathbb{E}[V] = \sum_{j=1}^n v_j \cdot p_j $$

L’espérance représente la moyenne théorique des résultats que l’on obtiendrait si l’expérience aléatoire était répétée un nombre infini de fois. Elle ne correspond pas forcément à une valeur observée concrètement, mais donne une mesure synthétique de la tendance centrale de la variable.

Par exemple, considérons un jeu où l’on lance une pièce de monnaie : si elle tombe sur pile, vous gagnez $ 100 $ ; si elle tombe sur face, vous ne gagnez rien. Chaque issue a une probabilité de 0,5. L’espérance de ce jeu s’écrit : $$ \mathbb{E}[V] = 100 \cdot 0{,}5 + 0 \cdot 0{,}5 = 50 $$ Autrement dit, à long terme, vos gains moyens par lancer convergeraient vers 50.

Dans le cas des variables aléatoires continues, l’espérance se définit à l’aide d’une intégrale :

$$ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx $$

où $f(x)$ désigne la fonction de densité de probabilité de la variable $X$.

L’espérance constitue une notion fondamentale en statistique, en économie, en théorie de la décision et en finance. Elle permet d’évaluer rationnellement les résultats possibles en situation d’incertitude et sert de repère pour orienter les décisions dans un contexte de risque.